Prije otprilike četrdesetak godina teoretičari su razvijali model sustava bozonskih čestica ograničenih na gibanje u jednoj dimenziji i koji su jako repulzivni tj. bilo koja dva bozona ne mogu zauzeti isto mjesto u isto vrijeme. Taj zahtijev oponaša Paulijev princip za fermione, pa bozonski sustav dobiva neka fermionska svojstva. Model je prvi riješio M.Girardeau koristeći Fermi-Bose mapiranje, koje povezuje ID jakointeragirajući bozonski sustav sa ID sustavom neinteragirajućih fermiona. Takav jednodimenzionalni jakointeragirajući bozonski plin nazivamo Tonks-Girardeau plin. Eksperimenti s uvjetima Tonks-Girardeau plina (TG-plin) su ostvareni u zadnjih par godina, kvantni efekti su jako izraženi i zanimljivi, što je motivacija za teorijsko istraživanje fenomena vezanih uz TG-plin.

Cilj ovog diplomskog rada je upoznati se sa matematičkim modelom TG-plina, primjeniti ga na najjednostavniji slučaj, a to je slučaj kad nema vanjskog potencijala i kad bozone promatramo kao točkaste čestice, za takav sustav odrediti jedno specifično pobuđeno stanje, izračunati matricu gustoće tog stanja, odrediti neke opservable tog stanja, kao što su jednočestične gustoće vjerojatnosti, distribucija impulsa i očekivana vrijednost impulsa sustava, razmotriti sličnosti i razlike u odnosu na fermionski sustav. Recimo nekoliko riječi o eksperimentima u kojima je realiziran TG-plin.

1D kvantni plin dobijemo tako da u dvije dimenzije bozone zatočimo prikladnim potencijalom, kojem su najniže energije pobuđenja mnogo veće od energija potencijala u trećoj dimenziji. Tako da u dvije transverzalne dimenzije imamo samo oscilacije nultog gibanja, a u preostaloj dimenziji je dopušteno gibanje. Takve uvijete je moguće ostvariti korištenjem 2D optičkih rešetki, koje nastaju interferencijom dva ortogonalna stojna vala. Takve optičke rešetke zatoče bozone u y i z smjeru a u x smjeru se stvaraju tube duž kojih je moguće gibanje. Ovo je vrlo grub i kratak opis jedne od mogućih realizacija TG-plina (više o tome u člancima). Parametar koji karakterizira različite fizikalne režime lD kvantnog plina je omjer energije interakcije po čestici (1) i kinetičke energije po čestici kod srednjih međučestičnih udaljenosti (K), pri temperaturama T→ 0, dakle γ = I/ K. Za γ « 1 plin je u režimu slabo interagirajućeg bozonskog kondenzata, za γ ≈ 1 plin je u režimu između slabo interagirajućeg lD bozonskog kondenzata i fermioniziranog TG-plina. Za velike vrijednosti γ » 1 plin ulazi u Tonks-Girardeau režim, sa jakom repulzijom među bozonima. Ono što je za ovaj diplomski rad važno je da su eksperimentalno ostvareni uvijeti γ ≈5 - 200, a u tom režimu bozoni mogu biti dobro opisani teorijskim modelom TG-plina tj. koristeći fermionizacijski pristup.