Dubravka Pernar (Diplomski, 2008)
Vremenska evolucija nelinearnih višedimenzionalnih dinamičkih sustava U dalekoj prošlosti čovječanstva, priroda se smatrala hirovitom. Odsutnost pravilnosti pripisivao se hirovima moćnih i neshvatljivih božanstava koja su njome gospodarila. Vladao je kaos, a zakoni su bili nedokučivi [Gleick]. U razdoblju od nekoliko tisuća godina, čovječanstvo je polako došlo do zaključka da u prirodi ima mnogo pravilnosti, koje se mogu analizirati i predvidjeti. Krajem osamnaestog stoljeća znanost je, činilo se, uspješno razotkrila zakone prirode, pa su mnogi smatrali kako je još malo toga ostalo neotkriveno. Zakoni su, prema tadašnjem uvjerenju, opisivali gibanje svake čestice u svemiru, sa predviđanjem u svakom trenutku u budućnosti. Kaos se povukao pred svijetom načinjenim po uzoru na satni mehanizam. Početkom dvadesetog stoljeća, dvije nove fizikalne teorije, kvantna mehanika na razini atoma i teorija relativnosti u području velikih brzina uvode revoluciju u znanosti. No, iako su postigle velike uspjehe na brojnim znanstvenim područjima (otkriće tranzistora, lasera), ni one ne uspijevaju objasniti vrtložne pojave u tekućinama, varijacije brojnosti pojedinih biljnih i životinjskih vrsta i mnoge druge pojave kojima svakodnevno svjedočimo. Tek krajem dvadesetog stoljeća, naglim razvojem elektronike i računalnih znanosti, na scenu stupa treća znanstvena revolucija dvadesetog stoljeća, teorija determinističkog kaosa. Ono što je novo u istraživanju kaosa nije otkriće kaotičnog režima nego univerzalna svojstva određenih vrsta kaotičnog ponašanja koja se mogu matematički analizirati. Time kaos kao interdisciplinarna znanost postaje zanimljiv u velikom broju znanstvenih područja. Teorija determinističkog kaosa opisuje posebnu vrstu složenog ponašanja dinamičkog sustava koji je opisan nelinearnim jednadžbama. Kad bi sustavi u prirodi bili linearni, varijable bi bile međusobno povezane izravno i jednostavno i kaosa ne bi niti bilo. Međutim prirodne pojave su puno složenije i gotovo u pravilu pokazuju nelinearnost. Nelinearni članovi, članovi s stupnjem višim od prvog, jedan su od uvjeta da bi sustav postao kaotičan. Drugi uvjet je ekstremna osjetljivost na početne uvijete, infinitezimalno male promjene na početku mogu dovesti do velikih promjena na kraju promatranja sustava. U znanosti je običaj rezultate istraživanja prikazati grafički. Jedan od mogućih prikaza dinamike sustava je fazni prostor. To je prostor u kojem se prikazuje ovisnost brzine o položaju tijela u promatranom Predmet istraživanja u ovom radu je proučavanje ponašanja određenih jednodimenzionalnih i višedimenzionalnih dinamičkih sustava te ispitivanje ponašaju li se ti sustavi regularno ili kaotično u vremenu. Posebna pažnja posvetit će se kaotičnim sustavima, te će se, između ostalog ispitati i njihova osjetljivost na male promjene početnih uvjeta. Priroda rješenja promatrat će se pomoću putanja, faznih prostora i u nekim slučajevima Poincareovih presjeka danih faznih prostora iz kojih se može vidjeti fraktalna slika sustava, ukoliko ona postoji. Ključne riječi:
dinamički sustavi, harmonički oscilator, višedimenzionalni dinamički sustavi |