Fizika jednodimenzionalnih (lD) bozonskih plinova razlikuje se od fizike višedimenzionallnih bozonskih sustava. Primjerice, Lieb-Liniger (LL) plin δ-interagirajućih bozona u jednoj prostornoj dimenziji postaje sve manje idealan kako mu se gustoća smanjuje [1], i konačno se približava Tonks-Girardeau (TG) limesu "neprobojnih" bozona [2] kada je dovoljno razrijeđen. Zanimanje za ovakve 1D sustave je značajno potaknuto njihovom eksperimenntalnom realizacijom u uskim 1D atomskim valovodima [3-5]. Posebna svojstva efektivno 1D atomskih plinova [6-8] očituju se u svojstvima neravnotežne dinamike u tim sustavima koji su odnedavno postali eksperimentalno dostupni [5]. Mogućnost pronalaska egzaktnih vremenski ovisnih rješenja za LL [9-11] i TG [13-23] evoluciju je od posebnog teorijskog interesa, s obzirom da nudi priliku za fizikalni uvid izvan različitih aproksimativnih shema.

Egzaktna rješenja za homogeni bozonski plin s (odbojnim) točkastim interakcijama prooizvoljne jakosti c i periodičkim rubnim uvjetima prikazali su 1963. godine Lieb i Liniger [1]. Za privlačna međudjelovanja, c < O, egzaktne LL valne funkcije su analizirane u referenci [24]. LL plin zatočen u beskonačno dubokoj kutiji proučen je li [25] za c > O. U svjetlu nedavnih eksperimenata [3-5] egzaktna istraživanja LL modela su danas još zanimljivija [26-30] nego prije. Osim što omogućuju uvid u fiziku 1D bozonskih plinova, egzaktna rješenja mogu poslužiti kao mjerilo valjanosti raznih aproksimacija kao i numeričkih pristupa (vidi npr. [30, 31]). Izračun korelacijskih funkcija LL plina iz valnih funkcija je težak zadatak; ove funkcije daju opservable poput raspodjele impulsa čestica u plinu, a proučavane su korišenjem različitih aproksimacija (vidi npr. [32-43]). Vremenski ovisna Schrodingerova jednadžba koja opisuje LL plin s interakcijama konačne jakosti razmatrana je i analitičkim [9-11] i numeričkim metodama (npr. [44,45]). Neregularna dinamika LL plina proučena je numerički u mezoskopskom sustavu u referenci [44]. U referenci [10] pokazano je da fazno umetanje (engl. phase imprinting) pomoću svjetlosnih pulseva čuva tzv. uvjet vrha (engl. cusp condition) u LL plinu kojeg uvjetuju međudjelovanja.

Egzaktna rješenja za 1D bozonske plinove zgodno se konstruiraju korištenjem tehnike Fermi-Bose mapiranja [2, 9, 13, 46]. Girardeau je 1960. otkrio da se valna funkcija neinteragirajućeg 1D fermionskog plina bez spina može simetrizirati tako da opisuje neprobojni 1D bozonski plin [2]. To mapiranje vrijedi uz proizvoljni vanjski potencijal [2], za vremenski ovisne probleme [13] i u kontekstu statističke mehanike [46]. Zapravo, fermionsko-bozonska dualnost postoji u 1D za proizvoljne jakosti interakcije [47, 48]. Štoviše, vremenski ovisna antisimetrična valna funkcija koja opisuje 1D sustav neinteragirajućih fermiona može se trannsformirati koristeći Fermi-Bose operator mapiranja u egzaktno vremenski ovisno rješenje za LL plin, što je pokazao Gaudin [9]. Ova metoda je primjenjiva u odsutnosti vanjskih potencijala i ostalih rubnih uvjeta te je stoga posebno korisna u proučavanju slobodne ekspanzije LL plina iz nekog početnog lokaliziranog stanja.

Slobodna ekspanzija interagirajućeg bozonskog plina u zadnje je vrijeme privukla značajnu pozornost. Korištena je u eksperimentima za dobivanje informacija o početnom stanju (vidi npr. [49] i reference unutar), te se može smatrati tzv. kvantnim "quench-type" problemom koji omogućuje uvid u relaksaciju kvantnih sustava (vidi npr. [50, 51J i reference unutar). Slobodna ekspanzija LL plina analizirana je u referenci [15] uz korištenje hidrodinamičkog formalizma [8]; pokazano je da gustoća plina ne slijedi samosličnu evoluciju [15]. Međutim, u 1D bozonskim sustavima, većina egzaktnih višečestičnih rješenja je dana za TG režim [15, 17-19, 23]. Važan rezultat je da se raspodjela impulsa TG plina koji slobodno ekspandira asimptotski približava raspodjeli impulsa slobodnih fermiona [17, 18]. Nedavno je konstruirana posebna familija egzaktnih rješenja koja opisuju LL plin koji slobodno eksspandira iz početno lokalizirane raspodjele gustoće [11]. Pokazano je da za bilo koju jakost interakcije valne funkcije asimptotski (kada t → ∞) poprimaju TG oblik. Iako je općenito prihvaćeno da 1D bozonski plinovi postaju manje idealni smanjenjem gustoće, ovakvo razmišljanje se uglavnom temelji na proučavanju LL plina u ravnotežnim osnovnim stanjima [1]. Stoga je poželjna stroža analiza LL plina koji ekspandira, što vodi na razrijeđeni sustav, ali izvan ravnoteže. Posebno, zanimljivo je proučiti ovisnost valne funkcije o početnom stanju i vidjeti kako se početni uvjeti unose u asimptotska stanja.

Ovdje proučavamo asimptotski oblik valne funkcije koja opisuje slobodno ekspandirajući Lieb-Liniger plin, a koja se može konstruirati pomoću Fermi-Bose transformacije i aproksimacije stacionarne faze. Rezultati ovog diplomskog rada sastavni su dio reference [12J. U poglavlju II opisujemo LL model i Fermi-Bose transformaciju. U poglavlju III pokazujemo kako asimptotske valne funkcije imaju Tonks-Girardeau strukturu, tj. iščezavaju kada se koordinate bilo koje dvije česticu podudaraju. Raspravljamo i ovisnost asimptotskog stanja o početnom stanju. Ilustrirali smo i kako se svojstva asimptotskih valnih funkcija mogu značajno razlikovati od svojstava TG plina u osnovnom stanju nekog vanjskog potencijala. Ovaj rad generalizira i nadograđuje se na prethodni rezultat iz reference [11], obzirom da početni uvjeti koji su ovdje razmotreni obuhvaćaju osnovna stanja za neke općenite vanjske potencijale i različite jakosti međudjelovanja. Iz prve popravke na glavni član možemo zaaključiti da u asimptotskom režimu energija interakcije LL plina općenito trne s vremenom kao E_int ∝ t^-3. Ovu činjenicu smo ilustrirali na posebnom primjeru u poglavlju IV gdje smo napravili dodatnu analizu posebne familije vremenski ovisnih LL valnih funkcija promatranih u referenci [11]. Eksplicitni izrazi za asimptotski oblik jednočestične gustoće dani su u poglavlju V.