Neravnotežne pojave u kvantnim višečestičnim sustavima predstavljaju intrigantno područje istraživanja mnoštva fizičkih pojava. Jednodimenzionalni (1D) bozonski plinovi kao primjer eksperimentalno ostvarivog kvantnog višečestičnog sustava pružaju jedinstvenu mogućnost za istraživanje tih pojava. Modeli kojima se opisuju 1D bozonski plinovi omogućuju egzaktno određivanje vremenski ovisnih rješenja Schrodingerove jednadžbe, dajući tako uvid u fizikalnu sliku izvan područja primjenjivosti raznih aproksimativnih metoda, što je od posebne važnosti u snažno koreliranim sustavima.

Razvoj tehnika laserskog hlađenja atoma doveo je 1995. g. do prve eksperimentalne reealizacije Bose-Einstein kondenzacije u rijetkim alkalijskim plinovima i time je otvorena mogućnost eksperimentalnog istraživanja bozonskih plinova s efektivnim 1D ponašanjem. Na dovoljno niskim temperaturama i gustoćama čestica transverzani stupnjevi slobode BoseeEinstein kondenzata u atomskom valovodu su zamrznuti u osnovnom transverzalnom modu i dinamika je opisana efektivnim 1D Hamiltonijanom s interakcijom u obliku 5-funkcije. Egzaktno rješenje za homogeni sustav bez vanjskog potencijala i s periodičnim rubnim uvjetima odredili su Lieb iLiniger 1963. g. Svojstva Lieb-Liniger plina određena su bezdimennzionalnim parametrom interakcije c koji je povezan s eksperimentalnim parametrom duljine raspršenja (scattering length).

Današnji eksperimenti omogućuju istraživanje 1D bozonskih plinova u širokom rasponu jakosti međudjelovanja, od Lieb-Liniger plina karakteriziranog konačnim iznosom c pa sve do tzv. Tonks-Girardeau režima (c → ∞ ) neprobojnih (impenetrable-core) bozona. Najveći dio teorijskih razmatranja egzaktne vremenske dinamike 1D bozonskih plinova usredotočen je na Tonks-Girardeau režim. U tom se limesu općenito vrlo kompleksan višečestični problem znatno pojednostavljuje zbog svojstva Fermi-Bose preslikavanja te je vremenska dinamika određena skupom nevezanih jednočestičnih Schrodingerovih jednadžbi. Zanimljivo je stoga, u sklopu istraživanja vremenske dinamike 1D bozonskih plinova, teorijski razmotriti vremensku dinamiku općenitog modela Lieb-Liniger plina konačne jakosti odbojne interakcije, što je ujedno i tema ovog diplomskog rada.

Tema neravnotežne dinamike Lieb-Liniger plina u ovom diplomskom radu razmotrena je na konkretnom sustavu 3 čestice. U uvodnom poglavlju (2. poglavlje) navedene su osnovne teorijske postavke Lieb-Liniger modela te je opisano rješenje vremenski neoovisne Schrodingerove jednadžbe 1D bozonskog plina s međudjelovanjem čestica opisanim δ-funkcijom. Rješenje se temelji na Bethe ansatz valnoj funkciji definiranoj skupom reduciranih valnih vektora koji se nalaze kao rješenje skupa vezanih nelinearnih jednadžbi.

Egzaktna rješenja višečestične valne funkcije Lieb-Liniger plina razmotrena su na primjeru sustava 3 čestice u sklopu 3. poglavlja. Analiziran je oblik rješenja za reducirane valne vektore i pripadajući energijski spektar te je uveden skup kvantnih brojeva kojima su opisana stacionarna rješenja. Razmotrena je vremenska dinamika sustava čije je stanje općenito opisano kao suma po stacionarnim rješenjima te su ilustrirane neke od karakterističnih dinamičkih poojava kao što su valovi, stacionarna stanja i oscilacije gustoće.

U 4. poglavlju, koje je ujedno i središnje poglavlje ovog diplomskog rada razmotrena je vremenska dinamika posebne klase pobuđenih stanja Tonks-Girardeau plina koja se naziivaju tamna solitonska stanja (dark soliton states) . Tamni su solitoni, kao fundamenntalna nelineama pobuđenja, u kontekstu 1D bozonskih plinova uglavnom istraživani u režimu slabih odbojnih međudjelovanja u kojem su primjenjive aproksimativne teorije srednjeg polja (mean-feld) kao što je Gross-Pitaevskii teorija temeljena na nelineamoj Schrodingerovoj jeddnadžbi. Analiza tamnih solitona u režimu jakih odbojnih međudjelovanja provedena je u sklopu egzaktno rješivog Tonks-Girardeau modela, gdje su identificirana posebno konstruuirana višečestična stanja s ponašanjem karakterističnim za tamne solitone. U sklopu ovog diplomskog rada izvedeno je egzaktno približenje Lieb-Liniger modela rješenju tamnih solitona u Tonks-Girardeau limesu za sustav 3 čestice. Identificirana su stacionama rješenja Liebb-Liniger modela koja sudjeluju pri konstruiranju višečestične valne funkcije tamnih soli tona te je analizirana vremenska dinamika tamnih solitona za različite jakosti odbojnog međudjelovanja.

U dodatku su navedeni i ukratko objašnjeni osnovni programi korišteni pri rješavanju sustava vezanih nelineamih jednadžbi za reducirane valne vektore, računanju tročestične valne funkcije te određivanju vremenske dinamike sustava 3 čestice.